Предельный переход НИЗОП

Пусть $f(x, y) \mathpunct{:} X \times [c, d) \to \mathbb{R}$, $x^0 \in X'$, $f(x, y) \rightrightarrows_{x \to x^0} g(y)$. Если $\int_c^d f(x, y)dy$ сходится равномерно на $X$, то $\int_c^d g(y)dy$ сходится, и $$\lim_{x \to x^0} \int_c^d f(x, y)dy = \int_c^d \lim_{x \to x^0} f(x, y)dy = \int_c^d g(y)dy$$

Чтобы доказать сходимость перейдем к пределу: $$\left|\int_{d'}^{d''} f(x, y)dy\right| < \dfrac{\varepsilon}{2} \implies \left|\int_{d'}^{d''} g(y)dy\right| < \varepsilon \text{ - сходится.}$$ Для $d'$ близких к $d$: $$\begin{align} \left|\int_c^d f(x, y)dy - \int_c^d g(y)dy\right| &\le \left|\int_c^{d'} f(x, y)dy - \int_c^{d'} g(y)dy\right| + \left|\int_{d'}^d f(x, y)dy\right| + \left|\int_{d'}^d g(y)dy\right| \\ &< \dfrac{\varepsilon}{3} + \dfrac{\varepsilon}{3} + \dfrac{\varepsilon}{3} = \varepsilon \end{align}$$ $\square$

Пусть $f(x, y) : X \times [c, d) \to \mathbb{R}$ непрерывна на $X \times [c, d)$. Если $F(x) = \int_{c}^{d} f(x, y) dy$ сходится равномерно на $X$, то $F(x)$ непрерывна.